【題目】數列{2n﹣1}的前n項1，3，7，…，2n﹣1組成集合
（n∈N*），從集合An中任取k（k=1，2，3，…，n）個數，其所有可能的k個數的乘積的和為Tk（若只取一個數，規定乘積為此數本身），記Sn=T1+T2+…+Tn，例如當n=1時，A1={1}，T1=1，S1=1；當n=2時，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7，試寫出Sn=__.
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【題目】對于定義域為R的函數
，若函數
是奇函數，則稱為正弦奇函數.已知
是單調遞增的正弦奇函數，其值域為R，
.
（1）已知是正弦奇函數，證明：“
為方程
的解”的充要條件是“
為方程
的解”；
（2）若
，求
的值；
（3）證明：是奇函數.
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【題目】在圓
上任取一點
，過點作
軸的垂線段
，
為垂足，當點在圓上運動時，點
在線段上，且
，點的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）過拋物線
：
的焦點
作直線
交拋物線于
，
兩點，過且與直線垂直的直線交曲線于另一點
，求
面積的最小值，以及取得最小值時直線的方程.
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【題目】2017年11月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國城市”，吸引了大批投資商的目光，一些投資商積極準備投入到“魅力城市”的建設之中.某投資公司準備在2018年年初將四百萬元投資到三門峽下列兩個項目中的一個之中.
項目一：天坑院是黃土高原地域獨具特色的民居形式，是人類“穴居”發展史演變的實物見證.現準備投資建設20個天坑院，每個天坑院投資0.2百萬元，假設每個天坑院是否盈利是相互獨立的，據市場調研，到2020年底每個天坑院盈利的概率為
，若盈利則盈利投資額的40%，否則盈利額為0.
項目二：天鵝湖國家濕地公園是一處融生態、文化和人文地理于一體的自然山水景區.據市場調研，投資到該項目上，到2020年底可能盈利投資額的50%，也可能虧損投資額的30%，且這兩種情況發生的概率分別為p和
.
（1）若投資項目一，記
為盈利的天坑院的個數，求
（用p表示）；
（2）若投資項目二，記投資項目二的盈利為
百萬元，求
（用p表示）；
（3）在（1）（2）兩個條件下，針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個項目，并說明理由.
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【題目】已知
定義在實數集
上的函數，把方程
稱為函數
的特征方程，特征方程的兩個實根
，
稱為的特征根.
（1）討論函數的奇偶性，并說明理由；
（2）求
表達式；
（3）把函數
，
的最大值記作
、最小值記作
，令
，若
恒成立，求
的取值范圍.
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【題目】在直角坐標系中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）將曲線上各點的縱坐標伸長為原來的
倍（橫坐標不變）得到曲線
，求的參數方程；
（2）若
，
分別是直線與曲線上的動點，求
的最小值.
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【題目】已知函數
，當
，
時，
的值域為
，
，當
，時，的值域為
，
，依此類推，一般地，當
，
時，的值域為
，
，其中
、
為常數，且
，
．
（1）若
，求數列
，
的通項公式；
（2）若
，問是否存在常數
，使得數列滿足
？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；
（3）若
，設數列，的前
項和分別為
，
，求
．
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【題目】如圖數表：
每一行都是首項為1的等差數列，第
行的公差為
，且每一列也是等差數列，設第行的第
項為
.
（1）證明：
成等差數列，并用
表示（
）；
（2）當
時，將數列
分組如下：（
），（
），（
），…（每組數的個數構成等差數列）. 設前組中所有數之和為
，求數列
的前
項和
；
（3）在（2）的條件下，設
是不超過20的正整數，當
時，求使得不等式
恒成立的所有的值.
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【題目】某加油站擬建造如圖所示的鐵皮儲油罐(不計厚度，長度單位為米)，其中儲油罐的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，
(
為圓柱的高，為球的半徑，
).假設該儲油罐的建造費用僅與其表面積有關.已知圓柱形部分每平方米建造費用為
千元，半球形部分每平方米建造費用為
千元.設該儲油罐的建造費用為
千元.
(1) 寫出關于
的函數表達式，并求該函數的定義域；
(2) 若預算為
萬元，求所能建造的儲油罐中的最大值(精確到
)，并求此時儲油罐的體積
(單位: 立方米，精確到立方米).
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