Question

已知a_n=2ⁿ，把數列{a_n}的各項排成如圖三角形狀，記A（i，j）表示第i行中第j個數，則結論
①A（2，3）=16；
②A（i，3）=2A（i，2）（i≥2）；
③[A（i，i）]²=A（i，1）•A（i，2i-1），（i≥1）；
④A（i+1，1）=A（i，1）•2^2i-1，（i≥1）；
其中正確的是

 

（寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

分析：觀察三角形中第i行最后一個數的下腳標，得知下腳標值是該行的行數的平方，從而得到A（i，j）的表達式，
再依次分析①②③④，可判斷其正確性．

解答：解：依題意知，①A（2，3）=a₄=2⁴=16；即①正確；

由圖可知，第i行最后一個數是ai2，
∴②A（i，3）=a(i-1)2+3=2i2-2i+4，
A（i，2）=a(i-1)2+2=2i2-2i+3
∴A（i，3）=2A（i，2）（i≥2）；即②正確；

③[A（i，i）]²⁼(a(i-1)2+i)2=(2i2-i+1)2
A（i，1）•A（i，2i-1）=2i2-2i+2•2i2=22(i2-i+1)=(2i2-i+1)2=[A（i，i）]²，即③正確；

④A（i+1，1）=ai2+1=2i2+1，A（i，1）•2^2i-1=2i2-2i+2•2^2i-1₌2i2+1
∴A（i+1，1）=A（i，1）•2^2i-1，即④正確；
故答案為：①②③④．

點評：此題考查數列最一般的方法是觀察法．
通過行數與項之間的關系可以找到規律，
題中還反映了從特殊到一般的數學思想．