Question

【題目】將邊長(zhǎng)為的正三角形利用平行于邊的直線剖分為個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正三角形.圖3為的情形.證明：存在正整數(shù)，使得小三角形的頂點(diǎn)中可選出2000個(gè)點(diǎn)，其中，任意三點(diǎn)均不構(gòu)成正三角形.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

首先證明一個(gè)引理.

引理 若邊長(zhǎng)為的正三角形內(nèi)部（不含邊界）可選出個(gè)點(diǎn)（而不構(gòu)成三角形），則邊長(zhǎng)為3的正三角形可選出4個(gè)點(diǎn).

證明 事實(shí)上，邊長(zhǎng)3的正三角形可分為9個(gè)邊長(zhǎng)的正三角形，如圖1，其中，4個(gè)（編號(hào)1、2、3、4）分別可選出個(gè)點(diǎn)（不構(gòu)成正三角形）.

圖1

下面證明：這4個(gè)點(diǎn)一起也不構(gòu)成正三角形.任取其中三點(diǎn).

【情形1】

三點(diǎn)在同一編號(hào)的三角形內(nèi).

據(jù)該三角形內(nèi)個(gè)點(diǎn)的選取方式，故點(diǎn)不構(gòu)成三角形.

【情形2】

兩點(diǎn)（不妨設(shè)）在同一編號(hào)三角形，另一點(diǎn)在其余編號(hào)三角形內(nèi).

考慮含兩點(diǎn)的三角形，如圖2.據(jù)平面幾何知識(shí)，知與形成正三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)應(yīng)在一個(gè)“大三角形”內(nèi)，該大三角形以為中位三角形.圖1中每個(gè)編號(hào)的三角形的大三角形與其余編號(hào)的三角形并無交集.故點(diǎn)不構(gòu)成正三角形.

圖2

【情形3】

每個(gè)點(diǎn)在不同編號(hào)的三角形內(nèi).

據(jù)對(duì)稱性，只需考慮編號(hào)為1、2、4或2、3、4兩種．

前一種，不妨設(shè)點(diǎn)分別在編號(hào)1、2、4三角形內(nèi)．則兩點(diǎn)均在，但以為中位三角形的大三角形與編號(hào)4的三角形并無交集.

后一種，不妨設(shè)點(diǎn)分別在編號(hào)2、3、4三角形內(nèi)．則兩點(diǎn)均在內(nèi)，但以為中位三角形的大三角形與編號(hào)3的三角形并無交集.

于是，兩種類型均有點(diǎn)不構(gòu)成正三角形.

綜合以上三種情形，引理得證.

如圖，邊長(zhǎng)為3的正三角形內(nèi)部（不含邊界）可選出一個(gè)點(diǎn)（而不形成正三角形）．用上述結(jié)論，可歸納證明：邊長(zhǎng)為的三角形內(nèi)（不含邊界）可選出個(gè)點(diǎn)（而不構(gòu)成正三角形）.

只要證明：存在，使得.

由，知存在，使得.

從而，.

令即得.