Question

已知函數f(x)在區間(－∞,＋∞)上是增函數,a和b為實數．

(1)求證：命題“如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”成立．

(2)判斷(1)的逆命題是否成立，并說明為什么．

Answer 1

答案：
解析：

(1)a＋b≥0,則a≥－b或b≥－a． ∵f(x)在(－∞,＋∞)上是增函數，∴f(a)≥f(－b),f(b)≥f(－a), ∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． (2)逆命題為“若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b),則a＋b≥0”． 反證法：假設a＋b＜0，則a＜－b或b＜－a， 依題有f(a)＜f(－b),f(b)＜f(－a),∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b),與已知矛盾， ∴假設不成立，a＋b≥0．