Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）求證：f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）若f（x）在 上的值域是 ，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：證明：設(shè)x2＞x1＞0，則x2﹣x1＞0，x1x2＞0，

∵ = ，

∴f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增的

（2）證明：∵f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增的，

∴f（x）在 上單調(diào)遞增，

∴ ，

∴

【解析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)x2＞x1＞0，再將f（x1）﹣f（x2）作差后化積，證明即可；（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增的，從而在[ ，2]上單調(diào)遞增，由f（2）=2可求得a的值．
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集．