Question

【題目】定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”；如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比，已知橢圓.

（1）若橢圓，判斷與相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似，請說明理由；

（2）寫出與橢圓相似且焦點在軸上，短半軸長為的橢圓的標準方程；若在橢圓上存在兩點、關(guān)于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍；

（3）如圖：直線與兩個“相似橢圓”和分別交于點和點，試在橢圓和橢圓上分別作出點和點（非橢圓頂點），使和組成以為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法.（不必證明）

Answer 1

【答案】（1）橢圓與相似，相似比為；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）由題意橢圓與相似，由橢圓的特征三角形是腰長為4，底邊長為的等腰三角形，能求出與的相似比．

（2）橢圓的方程為：，，設直線，點，，，，中點為，，由，得，由此利用韋達定理、根的判別式能求出實數(shù)的取值范圍．

（3）法1：過原點作直線，交橢圓和橢圓于點和點，得到和即為所求相似三角形，且相似比為．

法2：過點、點分別做軸（或軸）的垂線，交橢圓和橢圓點和點，得到和即為所求相似三角形，且相似比為．

解：（1）橢圓與相似．

因為，

因為，

因為橢圓的特征三角形是腰長為4，底邊長為的等腰三角形，

而橢圓的特征三角形是腰長為2，底邊長為的等腰三角形，

因此兩個等腰三角形相似，且相似比為．

（2）橢圓的方程為：，，

設直線，點，，，，中點為，，

則，，

則，，

中點在直線上，，，

即直線的方程為：，

由題意可知，直線與橢圓有兩個不同的交點，

即方程有兩個不同的實數(shù)解，

，即．

（3）作法1：過原點作直線，交橢圓和橢圓于點和點，

則和即為所求相似三角形，且相似比為．

作法2：過點、點分別做軸（或軸）的垂線，交橢圓和橢圓點和點，

則和即為所求相似三角形，且相似比為．