Question

數列{a_n}的通項是關于x的不等式x²-x＜nx（n∈N^*）的解集中整數的個數，f（n）=

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

an+n

（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）當n＞1時，判斷f（n）的單調性，并證明；
（3）是否存在實數a使不等式f（n）＞

1

12

log_a（a-1）+

2

3

對一切大于1的自然數n恒成立．若存在，試確定a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：計算題,函數的性質及應用,等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到通項；
（2）運用作差f（n+1）-f（n），即可判斷數列的單調性；
（3）假設存在實數a，使不等式f（n）＞

1

12

log_a（a-1）+

2

3

對一切大于1的自然數n恒成立．通過數列的單調性，求出最小值，通過解不等式，即可判斷．

解答： 解：（1）∵x²-x＜nx（n∈N^*），∴x²-（n+1）x＜0
解得0＜x＜n+1，
∵數列{a_n}的通項公式是關于x的不等式x²-x＜nx（n∈N^*）的解集中的整數個數，
∴a_n=n；
（2）f（n）是關于n（n∈N，n≥2）的遞增函數．
理由如下：由于f（n）=

1

n+3

+

1

n+4

+…+

1

2n+2

，
則f（n+1）=

1

n+4

+

1

n+5

+…+

1

2n+2

+

1

2n+3

+

1

2n+4

，
f（n+1）-f（n）=

1

2n+3

+

1

2n+4

-

1

n+3

=

9+5n

(2n+4)(2n+3)(n+3)

＞0，
則f（n）是關于n（n∈N，n≥2）的遞增函數；
（3）假設存在實數a，
使不等式f（n）＞

1

12

log_a（a-1）+

2

3

對一切大于1的自然數n恒成立．
由于f（n）是關于n（n∈N，n≥2）的遞增函數，
則f（n）≥f（2）=

1

5

+

1

6

=

11

30

，
則有

1

12

log_a（a-1）+

2

3

＜f（2）=

11

30

，
則a＞1且log_a（a-1）＜-

18

5

＜0，
解得，1＜a＜2．
故存在實數a，且1＜a＜2，
使不等式f（n）＞

1

12

log_a（a-1）+

2

3

對一切大于1的自然數n恒成立．

點評：本題考查數列的通項和數列的單調性和運用：求最值，考查對數不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題．