Question

【題目】設函數，，數列滿足條件:對于，，且，并有關系式:，又設數列滿足(且，).

（1）求證數列為等比數列，并求數列的通項公式；

（2）試問數列是否為等差數列，如果是，請寫出公差，如果不是，說明理由；

（3）若，記，，設數列的前項和為，數列的前項和為，若對任意的，不等式恒成立，試求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析，公差為；（3）．

【解析】

（1）由已知得出數列的遞推式，湊配后可得是等差數列，從而可得通項公式；

（2）計算后得常數，即證得等差數列；

（3）由錯位相減法求得，再由等差數列前項和公式求得，代入不等式，化簡后用分離參數法轉化為求函數最值．

（1）證明：∵，，，

∴，即，，

又，所以，∴是等比數列．

，∴．

（2）證明：∵，∴，

∴

∴數列是等差數列，公差為，首項為．

（3）由及（1）（2）得，，，

，

∴，

兩式相減得：，

∴，

∴不等式為：

，整理得對恒成立，

令，

由，因此遞增，且大于0，

所以遞增，當時，，且，故，

所以的范圍是．