Question

【題目】設a，b是正奇數，數列{cn}（n∈N*）定義如下：c1=a，c2=b，對任意n≥3，cn是cn﹣1+cn﹣2的最大奇約數．數列{cn}中的所有項構成集合A．
（1）若a=9，b=15，寫出集合A；
（2）對k≥1，令dk=max{c2k ， c2k﹣1}（max{p，q}表示p，q中的較大值），求證：dk+1≤dk；
（3）證明集合A是有限集，并寫出集合A中的最小數．】

Answer 1

【答案】
（1）解：數列{cn}為：9，15，3，9，3，3，3，

故集合A={9，15，3}．

（2）證明：由題設，對n≥3，cn﹣2，cn﹣1都是奇數，所以cn﹣1+cn﹣2是偶數．

從而cn﹣1+cn﹣2的最大奇約數 ，

所以cn≤max{cn﹣1，cn﹣2}，當且僅當cn﹣1=cn﹣2時等號成立．

所以，對k≥1有c2k+1≤max{c2k，c2k﹣1}=dk，

且c2k+2≤max{c2k+1，c2k}≤max{dk，dk}=dk．

所以dk+1=max{c2k+2，c2k+1}≤dk，當且僅當c2k=c2k﹣1時等號成立．

（3）由（2）知，當n≥3時，有cn≤max{cn﹣1，cn﹣2}．

所以對n≥3，有cn≤max{c1，c2}=max{a，b}．

又cn是正奇數，且不超過max{a，b}的正奇數是有限的，

所以數列{cn}中的不同項是有限的．

所以集合A是有限集．

集合A中的最小數是a，b的最大公約數

【解析】（1）利用列舉法寫出數列{cn}，易得集合A；（2）由題設，對n≥3，cn﹣2 ， cn﹣1都是奇數，所以cn﹣1+cn﹣2是偶數．從而cn﹣1+cn﹣2的最大奇約數 ，結合不等式的性質進行解答；（3）有限集是指元素的個數是有限個的集合，從而確定答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解集合的表示方法-特定字母法的相關知識，掌握①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.③描述法：{|具有的性質}，其中為集合的代表元素.④圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合．