Question

【題目】已知函數f（x）＝loga（x+a）（a＞0且a≠1）的圖象過點（﹣1，0），g（x）＝f（x）+f（﹣x）．

（Ⅰ）求函數g（x）的定義域；

（Ⅱ）寫出函數g（x）的單調區間，并求g（x）的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（﹣2，2），（Ⅱ）單調增區間（﹣2，0），單調遞減區間（0，2），最大值2

【解析】

（Ⅰ）根據函數過點（﹣1，0），計算得到a＝2，代入得到g（x）＝f（x）+f（﹣x）

，定義域滿足得到答案.

（Ⅱ）利用復合函數的單調性到單調增區間（﹣2，0），單調遞減區間（0，2），再計算最值得到答案.

（Ⅰ）f（x）＝loga（x+a）（a＞0且a≠1）的圖象過點（﹣1，0），∴a﹣1＝1即a＝2，

∴g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝log2（x+2）+log2（﹣x+2）

由題意可得，，即﹣2＜x＜2

∴函數g（x）的定義域（﹣2，2）

（Ⅱ）

根據復合函數的單調性可知g（x）的單調增區間（﹣2，0），單調遞減區間（0，2）

當x＝0時，g（x）取得最大值2．