Question

已知函數f(x)=，g(x)=.

（1）證明f(x)滿足f(-x)=-f(x),并求f(x）的單調區間；

（2）分別計算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函數f(x)和g(x)的對所有不等于零的實數x都成立的一個等式，并加以證明.

Answer 1

（1）證明見解析（2）f(x²)-5f(x)g(x)=0

解析:

（1）證明  f（-x）==-f(x),

設x₁＞x₂＞0,由于y=x在R上遞增，∴x＞x.又(x₁x₂)^-＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）=（x-x₁-x₂+ ）=＞0.

即f(x)在（0，+∞）上遞增.

同理f(x)在（-∞,0)上也遞增.

故f(x)在（-∞,0)和（0，+∞）上單調遞增.

（2）解  f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,

且f(x²)-5f(x)g(x)=0.

證明如下：

f(x²)-5f(x)g(x)=