Question

已知數列{a_n}前n項和S_n=n²+n
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

1

anan+1

，求證：數列{b_n}的前n項和T_n＜

1

4

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和

專題：等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）運用a_n=S_n-S_n-1，（n＞1）公式求解，注意n=1，（2）運用裂項法求解，放縮證明．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}前n項和S_n=n²+n，
∴當n=1時，a₁=2，
當n≥2時，a_n=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2n
（2）由（1）知當數列{a_n}的通項公式：a_n=2n，
∵a_n+1-a_n=2，
∴b_n=

1

2

×（

1

an

-

1

an+1

），
∴T_n=

1

2

×[

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

]
=

1

2

×（

1

a1

-

1

an+1

）=

1

2

×（

1

2

-

1

2n+2

）=

1

4

-

1

4n+4

＜

1

4

，
∴T_n＜

1

4

，

點評：本題考查了運用前n項和公式求解通項，放縮法求解有關的數列的n項和，屬于中檔題．