Question

已知x＞0，y＞0，xy=12x+3y．
（1）求x+y最小值．
（2）求xy最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由于x＞0，y＞0，xy=12x+3y．可得

12

y

+

3

x

=1，變形為x+y=（x+y）(

12

y

+

3

x

)=15+

12x

y

+

3y

x

，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）由于x＞0，y＞0，xy=12x+3y．利用基本不等式的性質(zhì)可得xy≥2

36xy

，解出即可．

解答： 解：（1）∵x＞0，y＞0，xy=12x+3y．
∴

12

y

+

3

x

=1，
∴x+y=（x+y）(

12

y

+

3

x

)=15+

12x

y

+

3y

x

≥15+3×2

4x y • y x

=27，當(dāng)且僅當(dāng)y=2x=18時(shí)取等號(hào)．
∴x+y的最小值為27．
（2）∵x＞0，y＞0，xy=12x+3y．
∴xy≥2

36xy

，
化為

xy

(

xy

-12)≥0，
解得

xy

≥12，
∴xy≥144，當(dāng)且僅當(dāng)4x=y=24時(shí)取等號(hào)．
∴xy的最小值為144．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．