Question

已知曲線C的參數方程為

x= 2 cosA y=sinA

（A為參數）．
（1）設M（x，y）是曲線C上的任一點，求

2

x+2y最大值．
（2）過點N（2，0）的直線l與曲線C交于P，Q兩點，且滿足OP⊥OQ（O為坐標原點），求直線l的方程．

Answer 1

考點：橢圓的參數方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用參數方程設出M的坐標，再利用三角函數求出

2

x+2y最大值；
（2）設出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理得到交點的坐標滿足的關系，利用向量垂直的充要條件列出等式，求出直線的斜率，即得到直線的方程．

解答： 解：（1）∵M點在曲線上，∴M（

2

cosA，sinA）
∴

2

x+y=2cosA+2sinA=2

2

sin（A+

π

4

），
∴

2

x+2y的最大值為2

2

；
（2）設直線的方程為y=k（x-2），且與曲線交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由已知得曲線C的方程是橢圓x²+2y²=2，
把直線方程與橢圓方程聯立得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0
有x₁+x₂=

8k2

2k2+1

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

∴y₁y₂=

2k2

1+2k2

∵OP⊥OQ，
∴y₁y₂+x₁x₂=0即

8k2-2

1+2k2

+

2k2

1+2k2

=0
解得：k=±

5

5

∴所求直線PQ的方程為y=±

5

5

（x-2）．

點評：解決直線與圓錐曲線的位置關系的問題，一般將直線的方程與圓錐曲線方程聯立，利用韋達定理找突破口．