Question

已知函數(shù)f（x）=αx+

b

x

（其中α，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)﹙1，2﹚，﹙2，

5

2

）兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式，并判斷f（x）的奇偶性．
（Ⅱ）用定義證明f（x）在區(qū)間﹙0，1]上單調(diào)遞減．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，把這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，可求得a、b的值；
（Ⅱ）用定義法證明函數(shù)的增減性時(shí)，基本步驟是：一取值，二作差，三判正負(fù)．四下結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=ax+

b

x

的圖象經(jīng)過(guò)（1，2），（2，

5

2

）兩點(diǎn)；
∴有

a+b=2 2a+ b 2 = 5 2

，解得

a=1 b=1

；
∴f（x）的解析式為f（x）=x+

1

x

，（其中x≠0），
則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）證明：任取x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂≤1，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

；
∵0＜x₁＜x₂≤1，
∴x₁x₂＜1，x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，x₁x₂＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，1]上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．