Question

【題目】已知函數是定義在區間上的奇函數，且若對于任意的有

（1）判斷并證明函數的單調性；

（2）解不等式；

（3）若對于任意的， 恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）增函數（2）（3）

【解析】試題分析; 1）設 ，由已知可得，分，及兩種情況可知 與 的大小，借助單調性的定義可得結論；
（2）利用函數單調性可得去掉不等式中的符號 ，轉化為具體不等式，再考慮到函數定義域可得不等式組，解出即可；
（3）要使得對于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]都有f（x）≤-2at+2恒成立，只需對任意的a∈[-1，1]時-2at+2≥f（x）max，整理后化為關于a的一次函數可得不等式組；

試題解析;（1）函數在區間上是增函數：

證明：由題意可知，對于任意的有，

可設，則，即，

當時， ，

∴函數在區間上是增函數；

當時， ，∴函數在區間上是增函數；

綜上：函數在區間上是增函數．

（2）由（1）知函數在區間上是增函數，

又由，

得，解得，

∴不等式的解集為；

∵函數在區間上是增函數，且，

要使得對于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都有f（x）≤﹣2at+2恒成立，

只需對任意的a∈[﹣1，1]時，即﹣恒成立，

令，此時可以看做的一次函數，且在a∈[﹣1，1]時y≥0恒成立，

因此只需要，解得，

∴實數t的取值范圍為： ．