Question

【題目】已知函數（其中e為自然對數的底）.

（1）若在上單調遞增，求實數a的取值范圍；

（2）若，證明：存在唯一的極小值點，且.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）求導得，則在時恒成立，不等式可轉化為，求出的最小值，令即可；

（2）時，，求出導函數，可知單調遞增，令，易證，從而可證明存在唯一的極小值點，再結合，可得到和，從而可得到的表達式，結合，求出的取值范圍即可.

（1）由題意，，則在時恒成立，即在時恒成立，

令，則，顯然在上單調遞增，則，所以只需，即滿足在時恒成立，

故實數a的取值范圍是.

（2），則，其定義域為，

求導得，顯然是上的增函數，

，因為，所以，即，

，因為，所以，即，

令，則在上有唯一零點，且，

故時，單調遞減，時，單調遞增，所以存在唯一的極小值點.

因為，所以，兩邊取對數得，即，

故，，

構造函數，，

顯然在上單調遞減，所以，

又，，故，即.

所以存在唯一的極小值點，且.