Question

【題目】設，函數.

（1）當時，求在上的單調區間；

（2）設函數，當有兩個極值點時，總有，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）增區間是 ，減區間是；（2）.

【解析】試題分析：（1）當時，求得，求導，令，則在是減函數，從而在上是減函數，進而得出在上的極大值，即可得到最大值；（2）由題意得可知，則，從而得不等式可化為，對任意的恒成立.通過討論①當時，②當時，③時的情況，即可得出結論.

試題解析：（1）當時，

則，令，則

顯然在區間內是減函數，又，在區間內，總有

在區間內是減函數，又當時，，

，此時單調遞增；

當時，

，此時單調遞減；

在區間內的極大值也即最大值是

（2）由題意，知，則

根據題意，方程有兩個不同的實根

，即，且

，由

其中，得

所以上式化為

又，所以不等式可化為，對任意的恒成立.

①當，不等式恒成立，；

②當時，恒成立，

令函數

顯然是內的減函數，當，

③時，恒成立，即

由②，當，，即