Question

【題目】已知為常數，函數

（1）過坐標原點作曲線的切線，設切點為，求；

（2）令，若函數在區間上是單調減函數，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出，求出切線的點斜式方程，原點坐標代入，得到關于的方程，求解即可；（2）設，由在是減函數，，通過研究的正負可判斷的單調性，進而可得函數的單調性，可求參數的取值范圍.

（1），

所以切線的斜率為，

切線方程為。

將代入得，

即，顯然是方程的解，

又在上是增函數，

方程只有唯一解，故；

（2）

設，

在上是減函數，

，

當時，即時，，

在是增函數，又，

在恒成立，即在恒成立，

在上單調遞減函數，所以，滿足題意，

當時，即，，

函數有唯一的零點，設為，則在上單調遞增，

在單調遞減，又，

又在內唯一零點，

當時，，

當時，，

從而在單調遞減，在單調遞增，

不合題意，

所以的取值范圍是.