Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))．在以O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：θ＝α 與C1，C2 各有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng) α＝0時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，當(dāng) α＝時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)重合．

(1) 求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程

(2) 設(shè)當(dāng) α＝時(shí)，l與C1，C2的交點(diǎn)分別為A1，B1，當(dāng) α＝－時(shí)，l與C1，C2的交點(diǎn)分別為A2，B2，求四邊形A1A2B2B1的面積．

Answer 1

【答案】（1）C1，C2的普通方程分別為x2＋y2＝1和＋y2＝1，（2）

【解析】

(1)令α＝0和α＝得a,b 值由參數(shù)方程與普通方程的互化求解得C1，C2的普通方程；（2）令α＝，得A1，B1的橫坐標(biāo)，利用對(duì)稱性得A1，B1關(guān)于x軸對(duì)稱，得四邊形A1A2B2B1為等腰梯形，利用面積公式求解即可

由題C1 的普通方程為x2＋y2＝1；C2的普通方程為

當(dāng)α＝0時(shí)，射線l與C1，C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1,0)，(a,0)，因?yàn)檫@兩點(diǎn)間的距離為2，所以a＝3.

當(dāng)α＝時(shí)，射線l與C1，C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,1)，(0，b)，因?yàn)檫@兩點(diǎn)重合，所以b＝1.

故C1，C2的普通方程分別為x2＋y2＝1和＋y2＝1，

（2）當(dāng)α＝時(shí)，射線l與C1交點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為x＝，與C2交點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為x′＝.

當(dāng)α＝－時(shí)，射線l與C1，C2的兩個(gè)交點(diǎn)A2，B2分別與A1，B1關(guān)于x軸對(duì)稱，因此四邊形A1A2B2B1為梯形．

故四邊形A1A2B2B1的面積為.