Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）設，若對， ，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出的定義域為，求導數，若，若，判斷導函數的符號，然后推出函數的單調性；（Ⅱ）不妨設，而，由（Ⅰ）知， 在上單調遞增，從而， 等價于， ，令，通過函數的導數求解函數的最值，推出結果.

試題解析：（Ⅰ） 的定義域為，求導數，得.若，則，此時在上單調遞增，若，則由，得.當時， ；但時， ，此時在上單調遞減，在上單調遞增.

（Ⅱ）不妨設，而，由（Ⅰ）知， 在上單調遞增，∴.

從而， 等價于， ①，令，則，因此，①等價于在上單調遞減，∴對恒成立，∴對恒成立，∴.又，當且僅當，即時，等號成立，∴，故的取值范圍為.