Question

【題目】已知函數f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.

(1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；

(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）[－1，＋∞)；（2）(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞).

【解析】試題分析：（1）先求導函數，然后根據導函數求出其取值范圍，從而可求出曲線C上任意一點處的切線的斜率的取值范圍；（2）根據（1）可知k與﹣的取值范圍，從而可求出k的取值范圍，然后解不等式可求出曲線C的切點的橫坐標取值范圍.

解析：

(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3，則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，

即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)．

(2)設曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結合(1)中結論可知，

解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，

得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)