Question

【題目】已知函數是偶函數

（1）求k的值；

（2）若函數的圖象與直線沒有交點，求b的取值范圍；

（3）設，若函數與的圖象有且只有一個公共點，求實數的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

試題（1）因為函數是偶函數，所以根據偶函數的定義，得到一個關于x,k的等式.由于對于任意的x都成立，相當于恒過定點的問題，所以求得k的值.

（2）因為函數的圖象與直線沒有交點，所以對應的方程沒有解，利用分離變量的思維可得到一個等式，該方程無解.所以等價兩個函數與沒有交點，所以求出函數的最值.即可得到b的取值范圍.

(3)因為，若函數與的圖象有且只有一個公共點，所以等價于方程有且只有一個實數根.通過換元將原方程化為含參的二次方程的形式，即等價于該二次方程僅有一個大于零的實根，通過討論即可得到結論.

試題解析：（1）因為為偶函數，所以，

即對于任意恒成立.

于是恒成立,

而不恒為零，所以.

（2）由題意知方程即方程無解.

令，則函數的圖象與直線無交點.

因為，由，則，

所以的取值范圍是.

（3）由題意知方程有且只有一個實數根．

令，則關于的方程(記為(*))有且只有一個正根.

若，則，不合題意, 舍去；

若，則方程(*)的兩根異號或有兩相等正根.

由或；但，不合題意，舍去；而；

若方程(*)的兩根異號

綜上所述，實數的取值范圍是．