【題目】
已知
， 
，函數
.
（Ⅰ）當
， 
時，解關于
的不等式
；
（Ⅱ）若函數
的最大值為2，求證： 
.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）見解析
【解析】試題分析：
(Ⅰ)由題意可得
.零點分段求解不等式可得不等式的解集為
；
(Ⅱ)由絕對值三角不等式可得
，則
.由均值不等式的結論可得
，當且僅當
時，等號成立.
證法二：由題意可得
，零點分段可得
，結合函數圖像可得
.由題意結合均值不等式的結論即可證得題中的結論.
試題解析：
（Ⅰ）當
時， 
.
不等式
為
.
①當
時，因為不等式為
，所以不等式成立，
此時符合；符合要求的不等式的解集為
；
②當
時，因為不等式為
，所以
，
此時，符合不等式的解集為
；
③當
時，因為不等式為
不成立，解集為空集；
綜上所述，不等式
的解集為
.
（Ⅱ）由絕對值三角不等式可得
， 
， 
∴
.
∴
，
當且僅當
時，等號成立.
另解：（Ⅱ）因為
， 
，所以
，
所以函數
，
所以函數
的圖象是左右兩條平行于
軸的射線和中間連結成的線段，
所以函數的最大值等于
，所以
.
∵
，
∴
.
或者
，
當且僅當
，即
時，“等號”成立.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓E： 
的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k（k＞0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA．
（1）當t=4，|AM|=|AN|時，求△AMN的面積；
（2）當2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著“中華好詩詞”節目的播出，掀起了全民誦讀傳統詩詞經典的熱潮.某大學社團為調查大學生對于“中華詩詞”的喜好，在該校隨機抽取了40名學生，記錄他們每天學習“中華詩詞”的時間，并整理得到如下頻率分布直方圖：
根據學生每天學習“中華詩詞”的時間，可以將學生對于“中華詩詞”的喜好程度分為三個等級 :
學習時間 (分鐘/天) |
|
|
|
等級 | 一般 | 愛好 | 癡迷 |
(Ⅰ) 求
的值；
(Ⅱ) 從該大學的學生中隨機選出一人，試估計其“愛好”中華詩詞的概率；
(Ⅲ) 假設同組中的每個數據用該組區間的右端點值代替，試估計樣本中40名學生每人每天學習“中華詩詞”的時間．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知曲線
，以平面直角坐標系
的原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線
.
（1）將曲線
上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的
倍、2倍后得到曲線
.試寫出直線
的直角坐標方程和曲線
的參數方程；
（2）在曲線
上求一點
，使點
到直線
的距離最大，并求出此最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示的自動通風設施.該設施的下部
是等腰梯形，其中
為2米，梯形的高為1米， 
為3米，上部
是個半圓，固定點
為
的中點. 
是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿（橫桿面積可忽略不計），且滑動過程中始終保持和
平行.當
位于
下方和上方時，通風窗的形狀均為矩形
（陰影部分均不通風）.
（1）設
與
之間的距離為
（
且
）米，試將通風窗的通風面積
（平方米）表示成關于
的函數
；
（2）當
與
之間的距離為多少米時，通風窗的通風面積
取得最大值？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，圓
的極坐標方程為： 
.若以極點
為原點，極軸所在直線為
軸建立平面直角坐標系.
（Ⅰ）求圓
的參數方程；
（Ⅱ）在直角坐標系中，點
是圓
上動點，試求
的最大值，并求出此時點
的直角坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
有極值，且在
處的切線與直線
垂直．
（1）求實數
的取值范圍；
（2）是否存在實數
，使得函數
的極小值為
．若存在，求出實數
的值；若不存在，請說明理由．
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