Question

【題目】已知橢圓E： 的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k（k＞0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA．

（1）當t=4，|AM|=|AN|時，求△AMN的面積；

（2）當2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析： 方法一，求出，橢圓方程和頂點，設出直線的方程，代入橢圓方程，求交點，運用弦長公式求得，由垂直的條件可得，再由，解得，運用三角形的面積公式可得的面積；

方法二：運用橢圓的對稱性，可得直線的斜率為，求得的方程代入橢圓方程，解方程可得， 的坐標，運用三角形的面積公式計算即可得到

直線的方程為，代入橢圓方程，求得交點，得， ，再由

，求出，再由橢圓的性質可得，解不等式即可得到所求范圍。

解析：（1）方法一、t=4時，橢圓E的方程為+=1，A（﹣2，0），

直線AM的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，

解得x=﹣2或x=﹣，則|AM|=|2﹣|=，

由AN⊥AM，可得|AN|==，

由|AM|=|AN|，k＞0，可得=，

整理可得（k﹣1）（4k2+k+4）=0，由4k2+k+4=0無實根，可得k=1，

即有△AMN的面積為|AM|2=（）2=；

方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N關于x軸對稱，

由MA⊥NA．可得直線AM的斜率為1，直線AM的方程為y=x+2，

代入橢圓方程+=1，可得7x2+16x+4=0，

解得x=﹣2或﹣，M（﹣，），N（﹣，﹣），

則△AMN的面積為××（﹣+2）=；

（2）直線AM的方程為y=k（x+），代入橢圓方程，

可得（3+tk2）x2+2tk2x+t2k2﹣3t=0，

解得x=﹣或x=﹣，

即有|AM|=|﹣|=，

|AN|═=，

由2|AM|=|AN|，可得2=，整理得t=，

由橢圓的焦點在x軸上，則t＞3，即有＞3，即有＜0，

可得＜k＜2，即k的取值范圍是（，2）．