Question

【題目】已知函數有極值，且在處的切線與直線垂直．

（1）求實數的取值范圍；

（2）是否存在實數，使得函數的極小值為．若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在實數，使得函數的極小值為.

【解析】試題分析：（1），因為在處的切線與直線垂直，所以，得與的關系。因為 函數有極值，故方程有兩個不等實根，其判別式大于0，結合，可求實數的取值范圍；（2）根據導函數的正負，求函數的極小值、極小值點，令極小值等于2，求得極值點，進而求實數的值。

試題解析：（1）∵，∴，

由題意，得，∴.①

∵有極值，故方程有兩個不等實根，

∴，∴.②

由①②可得, 或．

故實數的取僮范圍是．

（2）存在.

∵．令， .

,隨值的變化情況如下表：

	+		-		+
	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴，∴或.

若，即，則（舍）.

若，又，∴，∴，

∵，∴，∴，∴.

∴存在實數，使得函數的極小值為.