Question

（2011•浙江）設F₁，F₂分別為橢圓+y²=1的焦點，點A，B在橢圓上，若=5；則點A的坐標是　_________　．

Answer 1

（0，±1）

方法1：直線F₁A的反向延長線與橢圓交于點B'
又∵
由橢圓的對稱性，得
設A（x₁，y₁），B'（x₂，y₂）
由于橢圓的a=，b=1，c=
∴e=，F₁（，0）．
∵

從而有：

由于≤x₁，x₂，
∴，，
即=5×
=5． ①
又∵三點A，F₁，B′共線，
∴（，y₁﹣0）=5（﹣﹣x₂，0﹣y₂）
∴．②
由①+②得：x₁=0．
代入橢圓的方程得：y₁=±1，
∴點A的坐標為（0，1）或（0，﹣1）
方法2：因為F₁，F₂分別為橢圓的焦點，則，設A，B的坐標分別為A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
若；則，所以，
因為A，B在橢圓上，所以，代入解得或，
故A（0，±1）．