Question

【題目】函數(shù)，其中常數(shù).

（1）求的最小值；

（2）若，討論的零點的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）-1（2）見解析

【解析】

(1) 導數(shù)為，研究單調(diào)性即可得到的最小值；

(2)在其定義域上的導數(shù)是，對a分類討論，數(shù)形結合即可明確的零點的個數(shù).

解：（1）在定義域上的導數(shù)為.

所以當時，；當時，.

所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.

所以的最小值是.

（2）在其定義域上的導數(shù)是

①當時，由（1）可得在上是增函數(shù)，此時由，可得函數(shù)有唯一的零點.

②當時，

并且對于負數(shù)，有

又因為，所以，即

所以在區(qū)間上存在負數(shù)，使得，則在上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù).則

.所以在上，有且僅有個零點；

在區(qū)間上，并且是增函數(shù).

所以存在正數(shù)，使得在上，是減函數(shù)；在上，是增函數(shù).于是有

所以在上，恰有唯一的零點.

所以當時，在上恰有三個不同的零點.

綜上所述，當時，有唯一的零點；當時，有三個不同的零點.