Question

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，N為AD的中點(diǎn)．

（1）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；

（2）點(diǎn)M在線段PC上且滿足，直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

（1）利用向量法計(jì)算出異面直線與所成角的余弦值.

（2）由求得，結(jié)合平面的法向量，利用直線與平面所成角的正弦值列方程，解方程求得的值.

（1）因?yàn)?/span>平面，平面，所以，又因?yàn)?/span>，所以兩兩垂直.以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由，為的中點(diǎn)，得，.所以，設(shè)異面直線與所稱(chēng)的角的大小為，則.所以異面直線與所成角的余弦值為.

（2）設(shè)平面的法向量，因?yàn)?/span>，由得，取，得，所以.

因?yàn)?/span>，所以，所以.依題意，化簡(jiǎn)得，解得或，由于在線段上，所以.