Question

（本小題滿分12分）
已知如圖(1)，正三角形ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊上的點，且滿足，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖（2）.

(Ⅰ) 求二面角B-AC-D的大小；
(Ⅱ) 若異面直線AB與DE所成角的余弦值為，求k的值.

Answer 1

(1) . (2) k＝

試題分析：解：(Ⅰ) 過D點作DG⊥AC于G，連結BG，

∵ AD⊥CD, BD⊥CD,
∴ ∠ADB是二面角A-CD-B的平面角.
∴ ∠ADB=, 即BD⊥AD.
∴ BD⊥平面ADC. ∴ BD⊥AC.
∴ AC⊥平面BGD. ∴ BG⊥AC .
∴ ∠BGD是二面角B-AC-D的平面角.
在ADC中，AD=a, DC=, AC=2a,
∴ .
在Rt△BDG中，.
∴ .
即二面角B-AC-D的大小為.   
(Ⅱ) ∵ AB∥EF, ∴ ∠DEF(或其補角)是異面直線AB與DE所成的角.
∵ ，∴ .
又DC=, ，
∴

 
∴ .
∴ . 解得 k＝.
點評：解決該試題的關鍵是能利用定義求作角，結合三角形來求解得到結論，屬于基礎題。