Question

已知橢圓經過點，且兩焦點與短軸的一個端點構成等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）動直線交橢圓于、兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過點．若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）點就是所求的點

試題分析：（Ⅰ）橢圓的兩焦點與短軸的一個端點連線構成等腰直角三角形，所以，故橢圓的方程為．
又因為橢圓經過點，代入可得，2分
所以，故所求橢圓方程為．4分
（Ⅱ）當直線的斜率為0時，直線為，直線交橢圓于、兩點，以為直徑的圓的方程為； 
當直線的斜率不存在時，直線為，直線交橢圓于、兩點，以為直徑的圓的方程為，
由解得
即兩圓相切于點，因此，所求的點如果存在，只能是．8分
事實上，點就是所求的點．
證明如下：
當的斜率不存在時，以為直徑的圓過點．9分
若的斜率存在時，可設直線為，
由消去得．
記點、，則    10分
又因為，
所以
．
所以，即以為直徑的圓恒過點，12分
所以在坐標平面上存在一個定點滿足條件．13分
點評：主要是考查了解析幾何中運用代數的方法來建立方程組結合韋達定理來研究位置關系的運用，屬于中檔題。