Question

【題目】已知函數，其中.

（1）若是函數的極值點，求實數的值；

（2）若對任意的（為自然對數的底數）都有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1），定義域為，，依題意，解得；（2）對任意的都有成立等價于對任意的都有.利用導數，求得在上是增函數，最大值.而，由此，對分成，，三段，來討論的最大值，最后求得的取值范圍為.

試題解析：

（1）∵，∴，其定義域為，

∴，∵是函數的極值點，∴，即，

∵，∴.經檢驗當時，是函數的極值點，∴.

（2）對任意的都有成立等價于

對任意的都有，

當時，，∴函數在上是增函數，

∴.

∵，且，.

①當且時，，

∴函數在上是增函數，∴，

由，得，又，∴不合題意.

②當時，若，則，若時，，

∴函數在上是減函數，在上是增函數，

∴，由，得，又，∴.

③當且時，，

∴函數在上是減函數，∴，

由，得，又，∴，

綜上所述，的取值范圍為.