Question

（本小題滿分15分）
已知函數.
(Ⅰ) 若曲線在點處的切線與曲線有且只有一個公共點，求 的值；
(Ⅱ) 求證：函數存在單調遞減區間，并求出單調遞減區間的長度 的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）以函數的遞減區間長度的取值范圍是.

本試題主要考查了導數在研究函數中 的運用。
（1）先求解函數的定義域為，函數導數
所以曲線在點處的切線方程為：
因為切線與曲線有唯一的公共點，
所以方程有且只有一個實數解，顯然是方程的一個解.
構造函數令，則
對參數m討論得到結論。
（2））因為.
因為且對稱軸為，
，
所以方程在內有兩個不同實根，
結合韋達定理得到結論。
解：（Ⅰ）函數的定義域為，
所以曲線在點處的切線方程為：
因為切線與曲線有唯一的公共點，
所以方程有且只有一個實數解，顯然是方程的一個解.
令，則
①當時，，
所以在上單調遞增，即是方程唯一實數解.
②當時，由得，，
在區間上，；在區間上，；
所以函數在處有極大值，且；
而當，因此在內也有一個解.
即當時，不合題目的條件.
綜上討論得.……………………………………………………………………………8分
（Ⅱ）.
因為且對稱軸為，
，
所以方程在內有兩個不同實根，
即的解集為，
所以函數的單調遞減區間為.

由于，所以，
所以函數的遞減區間長度的取值范圍是.……………………15分