Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是邊長為的正方形， 底面， 分別為的中點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若，試問在線段上是否存在點，使得二面角 的余弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）滿足條件的 存在，是 中點

【解析】試題分析：（1）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需要結合平幾知識，如本題取PD中點M，利用三角形中位線性質得，再結合平行四邊形性質得四邊形EFMA為平行四邊形，從而得出EF∥AM，（2）涉及二面角問題，一般利用空間向量進行解決，首先根據題意建立恰當的空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組求各面的法向量，結合向量數量積求向量夾角，最后根據二面角與向量夾角的關系列等量關系，求出待定參數

試題解析：證明：（Ⅰ）取PD中點M，連接MF、MA，

在△PCD中，F為PC的中點，∴，

正方形ABCD中E為AB中點，∴，∴，

故四邊形EFMA為平行四邊形，∴EF∥AM，

又∵EF平面PAD，AM平面PAD，

∴EF∥平面PAD；

（Ⅱ）結論：滿足條件的Q存在，是EF中點．理由如下：

如圖：以點A為坐標原點建立空間直角坐標系，

則P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0， ，0），F（， ，1），

由題易知平面PAD的法向量為=（0，1，0），

假設存在Q滿足條件：設，

∵，∴， ，λ∈，

設平面PAQ的法向量為，

由，可得，

∴，

由已知： ，解得： ，

所以滿足條件的Q存在，是EF中點．