Question

甲乙兩地相距s千米，一船由甲地逆水行駛至乙地，水速為常量p（單位：千米/小時）船在靜水中的最大速度為q千米/小時（q＞p），已知輪船每小時的燃料費用（單位：元）與船在靜水中的速度v （單位：千米/小時）的平方成正比，比例系數為k．
（1）把全程燃料費用y（單位：元）表示為船在靜水中的速度v的函數，并求出這個函數的定義域；
（2）為了使全程燃料費用最小，船的實際前進速度為多少？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意，全程燃料費由每小時的費用及航程時間來決定，所以應先找出每小時的燃料費用及全程航行時間；
（2）問是求最值問題．是否需用基本不等式，要注意適用的條件，尤其是第（1）問的定義域，水速應小于船的最小速度，所以定義域應是（p，q]．因此，本題若基本不等式的“=”號能滿足即可求得結果，但也存在不能使“=”號成立的情況，因而，也需用函數的單調性求解．

解答： 解：（1）由于船每小時航行的燃料費用是kv²，全程航行時間為

s

v-p

，于是全程燃料費用y=kv²•

s

v-p

，
故所求函數是y=ks•

v2

v-p

（p＜v≤q），定義域是（p，q]．
（2）y=ks•

(v2-p2)+p2

v-p

=ks[（v+p）+

p2

v-p

]
=ks[v-p+

p2

v-p

+2p]≥4ksp．
其中取“=”的充要條件是v-p=

p2

v-p

，即v=2p．
①當v=2p∈（p，q]，即2p≤q時，y_min=f（2p）=4ksp．
②當2p?（p，q]，即2p＞q．任取v₁，v₂∈（p，q]且v₁＜v₂，則
y₁-y₂=ks[（v₁-v₂）+（

p2

v1-p

-

p2

v2-p

）]
=

ks(v2-v1)

(v1-p)(v2-p)

[p²-（v₁-p）（v₂-p）]．
而p²-（v₁-p）（v₂-p）＞p²-（q-p）（q-p）=q（2p-q）＞0．
∴y₁-y₂＞0．
故函數y在區間（p，q]內遞減，此時y（v）≥y（q）．
即y_min=y（q）=ks_•

q2

q-p

．此時，船的前進速度等于q-p．
故為使全程燃料費用最小，當2p≤q時，船的實際前進速度應為2p-p=p（千米/小時）；當2p＞q時，船的實際前進速度為q-p（千米/小時）．

點評：本題考查函數解析式的列法及函數最值的求法，考查學生分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．