Question

已知函數(shù)f（x）=sinx．
（Ⅰ）若f（α）=

1

3

，且α為第二象限角，計(jì)算：cos²α

1-sinα 1+sinα

+sin²α

1-cosα 1+cosα

；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

3

對稱，求函數(shù)g（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知可先得cosα=-

2 2

3

，化簡可得原式=sinα-cosα，代入即可求值．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x，y）是函數(shù)g（x）圖象上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A關(guān)于直線x=

π

3

的對稱點(diǎn)A（

2π

3

-x，y）落在函數(shù)f（x）的圖象上，可得g（x）=f（

2π

3

-x），又由f（x）=sinx，即可得解．

解答： （本題滿分8分）
解：（Ⅰ）由sinα=

1

3

，α為第二象限角，得cosα=-

2 2

3

…（1分）
cos²α

1-sinα 1+sinα

+sin²α

1-cosα 1+cosα

=cos²α

(1-sinα)2 cos2α

+sin²α

(1-cosα)2 sin2α

=-cosα（1-sinα）+sinα（1-cosα）=sinα-cosα
所以cos²α

1-sinα 1+sinα

+sin²α

1-cosα 1+cosα

=

1

3

+

2 2

3

；（4分）

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x，y）是函數(shù)g（x）圖象上任意一點(diǎn)，
則點(diǎn)A關(guān)于直線x=

π

3

的對稱點(diǎn)A（

2π

3

-x，y）落在函數(shù)f（x）的圖象上，
所以g（x）=f（

2π

3

-x），
又由f（x）=sinx，
得g（x）=sin（

2π

3

-x），
即g（x）=sin（x+

π

3

）…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱變換屬于難點(diǎn)，屬于中檔題．