已知橢圓
的兩個焦點
和上下兩個頂點
是一個邊長為2且∠F1B1F2為
的菱形的四個頂點.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過右焦點F2 ，斜率為
（
）的直線
與橢圓相交于
兩點，A為橢圓的右頂點，直線
、
分別交直線
于點
、
，線段
的中點為
，記直線
的斜率為
.求證:
為定值.
(1)
；（2）
為定值
.
解析試題分析：(1)由橢圓兩個焦點和上下兩個頂點是一個邊長為2且∠F1B1F2為的菱形的四個頂點可得
，從而得到橢圓方程.（2）通過題目條件，將直線方程設出來，再將它與橢圓交點坐標設出來，即點
，點
，再分別表示出直線
、
的方程，令
，得到點,，的坐標，再利用中點坐標公式得到線段的中點為的坐標，利用斜率公式即得到
，通過聯立直線與橢圓方程，用韋達定理替換
，
，化簡之后即可證明為定值.本題利用“設而不求”達到證明的目的，充分利用韋達定理消去繁雜的未知數.這是解決帶有直線與圓錐曲線交點問題的常用的手段.
試題解析：(1)由條件知， 2分
故所求橢圓方程為. 4分
（2）設過點
的直線
方程為：
，設點，點，
將直線方程代入橢圓
：，
整理得：
， 6分
因為點
在橢圓內，所以直線和橢圓都相交，
恒成立，且
8分
直線的方程為：
，直線的方程為：
，令，
得點
，
，所以點的坐標
. 9分
直線的斜率為
.
. 11分
將
代入上式得：
.
所以為定值. 14分
考點：1.橢圓的簡單幾何性質；2.直線與圓錐曲線的位置關系；3.斜率公式及直線方程.
字詞句段篇系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知中心在原點的雙曲線
的一個焦點是
，一條漸近線的方程是
。
（1）求雙曲線的方程；
（2）若以
為斜率的直線
與雙曲線相交于兩個不同的點
，且線段
的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為
，求
的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知拋物線
的焦點為F
過點
的直線交拋物線于A
，B
兩點，直線AF，BF分別與拋物線交于點M，N 
（1）求
的值；
（2）記直線MN的斜率為
，直線AB的斜率為
證明：
為定值
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
的左焦點為
，右焦點為
．
（Ⅰ）設直線
過點且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂直于點P，線段
的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡
的方程；
（Ⅱ）設
為坐標原點，取曲線上不同于的點
，以
為直徑作圓與相交另外一點
，求該圓的面積最小時點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓的中心在原點，焦點在
軸上，焦距為
，且經過點
，直線
交橢圓于不同的兩點A，B.
(1)求
的取值范圍；，
(2)若直線
不經過點
，求證：直線
的斜率互為相反數.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
（
）右頂點與右焦點的距離為
，短軸長為
.
（I）求橢圓的方程；
（II）過左焦點
的直線與橢圓分別交于
、
兩點，若三角形
的面積為
，求直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，橢圓
經過點
離心率
，直線
的方程為
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程；
(Ⅱ)
是經過右焦點
的任一弦(不經過點
)，設直線與直線相交于點
，記
的斜率分別為
問:是否存在常數
，使得
若存在求的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知曲線C1的極坐標方程為ρcos（θ－
）＝－1，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2
cos（θ－
）．以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系．
（Ⅰ）求曲線C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）求曲線C2上的動點M到曲線C1的距離的最大值．
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的焦點為
，其準線與
軸的交點為
，過
交拋物線于
兩點．
，求證：
；
的斜率分別為
，求
的值．