Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，， O為DE的中點，．F為的中點，平面平面BCED．

（1）求證：平面 平面．

（2）線段OC上是否存在點G，使得平面EFG？說明理由。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）不存在，理由見解析

【解析】

（1）題中已知垂直等關系易得平面，因此關鍵是證明，則可得線面垂直，從而有面面垂直，而可在等腰梯形中通過計算由勾股定理逆定理得證；

（2）假設存在點滿足題意，則可證得，是中點，從而有，這與已知矛盾，從而得假設錯誤，點不存在．

解：（1）因為．所以，又O為DE的中點，

所以．

因為平面平面BCED，且平面，

所以平面BCED．所以．

由于四邊形BCED是一個上底為2．下底為4，腰長為 的等腰梯形，易求得．

在 中， ，所以，

所以平面．所以平面 平面．

（2）線段OC上不存在點G，使得平面FFG．

理由如下：

假設線段OC上存在點G，使得平面EFG，

連接GE，GF．則必有．且．

在 中，由F為的中點，，得G為OC的中點．

在中，因為．所以 ．這顯然與 ， 矛盾．

所以線段OC上不存在點G，使得平面EFG．