Question

如圖在直三棱柱中,.
(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求二面角的余弦值大小;
(Ⅲ)在上是否存在點,使得∥平面, 若存在,試給出證明;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解法一（Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影為.
由可得.
所以.    (Ⅱ)過作于,連結.
由底面可得.故為二面角的平面角.
在中,,
在Rt中,,
故所求二面角的余弦值大小為. 

(Ⅲ)存在點使∥平面,且為中點,下面給出證明.設與交于點則為中點.
在中, 連結,分別為的中點,故為的中位線,
∥,又平面,平面,   ∥平面.
故存在點為中點,使∥平面.      
解法二 直三棱柱,底面三邊長,
兩兩垂直.
如圖以為坐標原點,建立空間直角坐標系,則

.
(Ⅰ),
,故.             
(Ⅱ)平面的一個法向量為,
設平面的一個法向量為,,,
由得
令,則.則.故＜＞=.
所求二面角的余弦值大小為.
（3）同上

略