Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若，，證明；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍：若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）不存在實(shí)數(shù)，詳見解析

【解析】

（1）分類討論，時(shí)直接證明，時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最小值可證得不等式成立；

（2）時(shí)，由（1）可知無零點(diǎn)，時(shí)，仍然利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)極值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（1）證明：①若，則當(dāng)時(shí)，，，所以；

②若，因?yàn)?/span>，

設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，

所以，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

綜上所述，若，，則.

（2）不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).

理由如下：

（1）若，由（1）知，在上單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)；

（2）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，

所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?/span>，，

所以在上存在唯一的零點(diǎn)，

即方程在上存在唯一解，

且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，所以在無零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，，

所以在上有唯一零點(diǎn)，

故當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).