Question

【題目】已知數(shù)列的前項和為，，且時，數(shù)列滿足，，對任意，都有.

（1）求數(shù)列，的通項公式；

（2）令若對任意的，不等式恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），.（2）

【解析】

（1）根據(jù)，變形為，用累乘法求解，根據(jù)，且，利用等比中項得到數(shù)列是等比數(shù)列，求得通項.

（2）用等差數(shù)列的前n項和公式求得，用錯位相減法求得， 再根據(jù)不等式，對任意的恒成立，轉化為恒成立，令求其最大值即可.

（1）當時，，即.

，

又，也滿足上式，故數(shù)列的通項公式.

由，且，知數(shù)列是等比數(shù)列，其首項公比均為，

∴數(shù)列的通項公式，

（2）.

<1>，

<2>，

由<1>-<2>，得，

，

，

因為不等式，對任意的恒成立，

即，對任意的恒成立，

即恒成立.

即恒成立，

令.

則，

因為，所以單調遞增且大于0，

所以 單調遞增，

當時，，且，故，

所以實數(shù)的取值范圍是.