Question

【題目】已知函數為自然對數的底數.

（1）求函數的極值；

（2）設函數，若存在實數，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極大值為1，無極小值（2）

【解析】

（1）先求出，得知當所以當x<0時，f′(x)>0；當x>0時，f′(x)<0，從而求得函數f(x)在(－∞，0)上單調遞增，在(0，＋∞)上單調遞減，從而求得函數的極值；

（2）假設存在實數，使得成立，則，，分別討論①當時，②當時，③當時的情況，從而求得的范圍.

（1）函數的定義域：，，

所以當x<0時，f′(x)>0；當x>0時，f′(x)<0，

故f(x)在(－∞，0)上單調遞增，在(0，＋∞)上單調遞減

所以，無極小值．

（2）若存在實數，使得成立，則

由可得

①當時，≤0，在[0,1]上單調遞減，

∴，即；

②當時，>0，在[0,1]上單調遞增，

∴，即；

③當時，

時，，單調遞減；時，，單調遞增，

，由于，故

，由（1）知，所以

故不可能成立；

綜上所述，實數的取值范圍是．