Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在時(shí)，有極值，求的值；

（2）在直線上是否存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)至少有兩條直線與曲線相切？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在，詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）求得，根據(jù)函數(shù)在取得極值，即可求解；

（2）不妨設(shè)點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)與相切的直線為，切點(diǎn)為，求得切線方程，根據(jù)直線過(guò)，轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上單調(diào)遞增，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，則，

由在時(shí)，有極值，可得，

解得.

經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，有極值.

綜上可得.

（2）不妨設(shè)在直線上存在一點(diǎn)，

設(shè)過(guò)點(diǎn)與相切的直線為，切點(diǎn)為，

則切線方程為，

又直線過(guò)，有，

即，

設(shè)，則，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以至多有一個(gè)解，

過(guò)點(diǎn)與相切的直線至多有一條，

故在直線上不存在點(diǎn)，使得過(guò)至少有兩條直線與曲線相切.