Question

已知函數f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，不等式f（x）＞0的解集為{x|-3＜x＜2}．
（1）求函數y=f（x）的解析式．
（2）當關于的x的不等式ax²+bx+c≤0的解集為R時，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）根據一元二次不等式與對應方程的關系，結合根與系數的關系，求出a、b的值，即得f（x）；
（2）由二次函數的圖象與性質，求出不等式-3x²+5x+c≤0解集為R時a的取值．

解答： 解：（1）∵f（x）＞0的解集為{x|-3＜x＜2}，
∴-3，2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩根；
∴

-3+2=- b-8 a -3×2= -a-ab a

，
解得

a=-3 b=5

，
∴f（x）=-3x²-3x+18；
（2）∵a=-3＜0，
∴二次函數y=-3x²+5x+c的圖象開口向下，
要使-3x²+5x+c≤0的解集為R，
只需△≤0，
即25+12c≤0，
∴c≤-

25

12

；
∴當c≤-

25

12

時，-3x²+5x+c≤的解集為R．

點評：本題考查了一元二次不等式與對應的二次函數的關系應用問題，解題時應結合二次函數的圖象與性質，進行解答，是基礎題．