Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）寫出直線的極坐標(biāo)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知與直線平行的直線過點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，試求．

Answer 1

【答案】（1）直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）．

【解析】

試題（1）先利用加減消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，再利用，得直線的極坐標(biāo)方程，最后根據(jù)，將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，（2）先根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求．

試題解析：（1）將，代入直線方程得，

由可得，

曲線的直角坐標(biāo)方程為．

（2）直線的傾斜角為，∴直線的傾斜角也為，又直線過點(diǎn)，

∴直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將其代入曲線的直角坐標(biāo)方程可得

，設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為．

由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知，，

∴ ．