Question

已知是二次函數，不等式的解集是(0,5)，且f(x)在區間[－1,4]上的最大值是12.
(1)求的解析式；
(2)是否存在自然數m，使得方程＝0在區間(m，m＋1)內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)
(2)存在唯一的自然數m＝3，使得方程在區間(m，m＋1)內有且只有兩個不等的實數根．

試題分析：(1)為求函數的解析式，可根據是二次函數，且的解集是(0,5)，
設出應用“待定系數法”．
(2)首先注意到方程＝0等價于方程，從而，可通過研究函數
達到解題目的.
具體地，通過“求導數、求駐點、討論導數的正負、確定函數的單調區間”，認識方程的根分布情況.
試題解析：
(1)∵是二次函數，且的解集是(0,5)，
∴可設．
∴在區間[－1,4]上的最大值是.
由已知，得                   5分
(2)方程＝0等價于方程
設
則．                          7分
當x∈時，，因此在此區間上是減少的；
當x∈時，，因此是在此區間上是增加的．
∵h(3)＝1>0，h＝<0，h(4)＝5>0，               10分
∴方程＝0在區間，內分別有唯一實數根，而在區間(0,3)，(4，＋∞)內沒有實數根，
∴存在唯一的自然數m＝3，使得方程在區間(m，m＋1)內有且只有兩個不等的實數根．                                       12分