Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0），上的點M（1，m）到其焦點F的距離為2，
（Ⅰ）求C的方程；并求其準線方程；
（II）已知A （1，﹣2），是否存在平行于OA（O為坐標原點）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點，且直線OA與L的距離等于 ？若存在，求直線L的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）拋物線y2=2px（p＞0）的準線方程為x=﹣ ，

由拋物線的定義可知：|MF|=1﹣（﹣ ）=2，解得p=2，

因此，拋物線C的方程為y2=4x；其準線方程為x=﹣1．

（Ⅱ）假設存在符合題意的直線l，其方程為y=﹣2x+t，（OA的方程為：y=﹣2x）

由 ，得y2+2 y﹣2 t=0．

因為直線l與拋物線C有公共點，所以得△=4+8 t，解得t≥﹣1/2．

另一方面，由直線OA與l的距離d= ，可得 ，解得t=±1．

因為﹣1[﹣ ，+∞），1∈[﹣ ，+∞），所以符合題意的直線l 存在，其方程為2x+y﹣1=0

【解析】（Ⅰ）根據拋物線的定義、方程與性質以及平行線間的距離公式可得結果。（Ⅱ）假設存在與題意相符的直線l，其方程可設為y=﹣2x+t聯立拋物線的方程由韋達定理結合兩條平行線間的位置關系即可求解。