Question

【題目】如圖，橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的離心率是，過點P(0，1)的動直線l與橢圓相交于A，B兩點，當直線l平行于x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為2.

（1）求橢圓E的方程；

（2）在平面直角坐標系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q，使得＝恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據題意橢圓過點.，在由離心率是，列方程組求解.

（2）根據特殊直線位置，先確定點Q在y軸上，由斜率不存在確定點的坐標，然后再證明斜率存在時的情況也成立。.

（1）因為過點P(0，1)的動直線l與橢圓相交于A，B兩點，當直線l平行于x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為2，

所以橢圓過點.，

所以，

解得，

所以橢圓得方程為：.

（2）當l平行于x軸，設直線與橢圓相交于C，D，兩點，如果存在Q點滿足條件，

則有＝，即，

所以Q點在y軸上，可設Q的坐標為，

當 l垂直于x軸時，設直線與橢圓相交于M，N，兩點，如果存在Q點滿足條件，

則有＝，，

解得或

所以若存在不同于點P的頂點Q滿足條件，則Q點的坐標為

當l不平行于x軸，當 l不垂直于x軸時，

設直線方程為，

與橢圓方程聯立，消去y得，

，

又因為點B關于y軸的對稱點的坐標為，

又，

且，

所以，則三點共線，

所以＝.

故存在存在與點P不同的定點Q，使得＝恒成立.