Question

【題目】設函數f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.

(1)當m＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率；

(2)求函數的單調區間與極值．

Answer 1

【答案】（1）曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為1

（2）f(x)在(－∞，1－m)和(1＋m，＋∞)內為減函數；最大值為f(1＋m)＝m3＋m2－；最小值為f(1－m)＝－m3＋m2－

【解析】試題分析：（1）根據導數幾何意義先求切線斜率f′(1)，（2）先求導函數零點x＝1－m或x＝1＋m.再列表分析導函數符號變化規律，確定單調區間及極值.

試題解析：(1)當m＝1時，f(x)＝－ x3＋x2，

f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.

所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率為1.

(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.

令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.

因為m＞0，所以1＋m＞1－m.

當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)內是減函數，在(1－m,1＋m)內是增函數.

函數f(x)在x＝1－m處取得極小值f(1－m)，且f(1－m)＝－ m3＋m2－.

函數f(x)在x＝1＋m處取得極大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝m3＋m2－.