Question

已知橢圓的左右焦點分別為F₁，F₂，O為坐標原點，過F₂的直線l₁與C₁交于A，B兩點，且△ABF₁的周長為，l₁的傾斜角為α．
（I）當l₁垂直于x軸時，
①求橢圓C₁的方程；
②求證：對于?α∈[0，π），總有．
（II）在（I）的條件下，設直線l₂與橢圓交于C，D兩點，且OC⊥OD，過O作l₂的垂線交l₂于E，求E的軌跡方程C₂，并比較C₂與C₁通徑所在直線的位置關系．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得，，當斜率不存在時，l₁：x=c，，；當時，設l₁：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由焦半徑公式可得，，故．由此能導出對于?α∈[0，π），總有．
（II）當斜率存在時，設l₂：y=tx+b，C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），，，再由根的判別式和韋達定理進行求解．
解答：解：（I）①由題意可得，
當斜率不存在時，l₁：x=c
故，
②當時，設l₁：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由焦半徑公式可得，
故，
，
故
故成立
當時，由題意成立
故對于?α∈[0，π），總有．
（II）當斜率存在時，設l₂：y=tx+b，C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
△＞0⇒2t²-b²+1＞0
故，
原點O到l₂的距離為為定值
故E的軌跡方程為，
當斜率不存在時，解得或均在E上
綜上可得，E的軌跡方程C₂為，
C₁通徑所在的方程為x=±1
故兩者相離．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要靈活運用橢圓性質，注意合理地進行等價轉化．